Matematik: Transformteori, 4 hp

Huvudområde

Utbildningsnivå

Fördjupningsnivå

Kursen ges för

• Ämneslärarprogrammet med inriktning mot arbete i gymnasieskolan

Förkunskapskrav

Kursen förutsätter kurserna Algebra, 5hp, Envariabelanalys 1, 6hp, Envariabelanalys 2, 6hp, Linjär algebra, 6hp och Flervariabelanalys, 8hp, eller motsvarande.

Lärandemål

Efter avslutad kurs skall studenten
- ha kännedom om och kunna redogöra för tillräckliga villkor för att de olika transformerna skall existera
- ha kännedom om och kunna använda enkla egenskaper hos transformerna (t. ex. beteende i oändligheten, skalnings- och förskjutningsregler, derivations- och integrationsregler, regler för multiplikation med tidsvariabeln)
- kunna härleda transformer av vanliga funktioner
- ha kännedom om och kunna redogöra för inversionssatser, entydighetssatser, faltningsformler och formler av typen Parseval-Plancherel,
- kunna tillämpa transformteorin för att lösa problem såsom differentialekvationer, differensekvationer och faltningsekvationer
- ha kännedom om och kunna tillämpa några resultat om likformig konvergens (kontinuitet, deriverbarhet och integrerbarhet hos gränsfunktionen, Weierstrass majorantsats).

Kursinnehåll

Kursen avser att ge den studerande fördjupade kunskaper inom områdena fourieranalys och transformteori, som har talrika tillämpningar inom såväl tekniken som matematiken. I kursen arbetar den studerande med några viktiga linjära transformationer, med hjälp av vilka linjära problem (differential-, integral- differensekvationer) kan översättas till mer hanterbara algebraiska problem, vilkas lösningar sedan översättas tillbaka till lösningar till de ursprungliga problemen.
Följande studeras: Fourierserier, som översätter periodiska funktioner till funktionsserier. Dessa serier används för att analysera periodiska förlopp. Här är konvergensproblemet för funktionsserier viktigt, och vi tar upp likformig och punktvis konvergens samt konvergens i medel för Fourierserier. Bessels olikhet och Parsevals sats är nyckelresultat. Vi studerar även tillämpningar av fourierserier för att lösa randvärdesproblem för linjära partiella differentialekvationer.
Fouriertransformer: dessa transformer används för analys av icke-periodiska förlopp. Inversionsformeln för Fouriertransformer är central och verktygen omfattar även räkneregler, faltningsformeln och Plancherels sats.
Laplacetransformen: översätter funktioner av en reell variabel till funktioner definierade i det komplexa planet, och används för att lösa bl a begynnelsevärdesproblem . Verktygen omfattar räkneregler, faltningsformeln samt begynnelse- och slutvärdessatsen.
Z-transformen: översätter funktioner på de naturliga talen till potensserier, och används för att lösa differensekvationer. Verktygen omfattar räkneregler och faltningsformeln.

Undervisnings- och arbetsformer

Föreläsningar, lektioner samt självständiga studier.

Examination

Gäller för alla kurser oavsett betygsskala.

• Studerande som underkänts två gånger på kursen eller del av kursen har rätt att begära en annan examinator vid förnyat examinationstillfälle.

Om kursen har tregradig betygsskala (U – VG) gäller följande:

• Studerande som godkänts i prov får ej delta i förnyat prov för högre betyg.

Om kursen är en VfU-kurs gäller följande:

• Examination av tillämpade sociala och didaktiska förmågor begränsas till tre (3) tillfällen.

För kurser där obligatoriska moment ingår gäller följande:

• Om det finns särskilda skäl, och om det med hänsyn till det obligatoriska momentets karaktär är möjligt, får examinator besluta att ersätta det obligatoriska momentet med en annan likvärdig uppgift.

Om LiU: s koordinator för studenter med funktionsnedsättning har beviljat en student rätt till anpassad examination vid salstentamen har studenten rätt till det. Om koordinatorn istället har gett studenten en rekommendation om anpassad examination eller alternativ examinationsform, får examinator besluta om detta om examinator bedömer det möjligt utifrån kursens mål.

Betygsskala

Övrig information

Planering och genomförande av kurs skall utgå från kursplanens formuleringar. Den kursvärdering som skall ingå i varje kurs skall därför behandla frågan om hur kursen överensstämmer med kursplanen.

Kursen bedrivs på ett sådant sätt att både mäns och kvinnors erfarenhet och kunskaper synliggörs och utvecklas.

Institution