Ordinära differentialekvationer och dynamiska system, 6 hp

Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, 6 credits

TATA71

Huvudområde

Matematik Tillämpad matematik

Utbildningsnivå

Grundnivå

Kurstyp

Programkurs

Examinator

Hans Lundmark

Studierektor eller motsvarande

Mikael Langer

Undervisningstid

Preliminär schemalagd tid: 44 h
Rekommenderad självstudietid: 116 h

Tillgänglig för utbytesstudenter

Ja
VOF = Valbar / Obligatorisk / Frivillig
Kursen ges för Termin Period Block Språk Ort/Campus VOF
6CEMM Civilingenjör i energi - miljö - management 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CMMM Civilingenjör i maskinteknik 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYY Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYY Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik 9 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, franska 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, franska 9 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, franska (Teknisk matematik) 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, franska (Teknisk matematik) 9 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, japanska 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, japanska 9 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, japanska (Teknisk matematik) 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, japanska (Teknisk matematik) 9 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, kinesiska 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, kinesiska 9 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, kinesiska (Teknisk matematik) 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, kinesiska (Teknisk matematik) 9 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, spanska 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, spanska 9 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, spanska (Teknisk matematik) 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, spanska (Teknisk matematik) 9 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, tyska 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, tyska 9 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, tyska (Teknisk matematik) 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYI Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik - internationell, tyska (Teknisk matematik) 9 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYY Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik (Teknisk matematik) 7 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6CYYY Civilingenjör i teknisk fysik och elektroteknik (Teknisk matematik) 9 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6KMAT Matematik, kandidatprogram 3 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6KMAT Matematik, kandidatprogram (Ekonomisk modellering och optimering) 3 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6KMAT Matematik, kandidatprogram (Matematik) 3 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6KMAT Matematik, kandidatprogram (Matematisk statistik för maskininlärning) 3 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V
6KMAT Matematik, kandidatprogram (Teknisk matematik) 3 (HT 2024) 2 2 Svenska/Engelska Linköping, Valla V

Huvudområde

Matematik, Tillämpad matematik

Utbildningsnivå

Grundnivå

Fördjupningsnivå

G2X

Kursen ges för

  • Civilingenjörsprogram i teknisk fysik och elektroteknik
  • Civilingenjörsprogram i teknisk fysik och elektroteknik - internationell
  • Civilingenjörsprogram i energi - miljö - management
  • Civilingenjörsprogram i maskinteknik
  • Kandidatprogram i matematik

Rekommenderade förkunskaper

Linjär algebra, en- och flervariabelanalys

Lärandemål

Att den studerande skall nå fördjupade kunskaper och färdigheter inom teorin för ordinära differentialekvationer (ODE) och tidskontinuerliga dynamiska system. Efter genomgången kurs skall studenten kunna:

  • Använda några av de klassiska metoderna för att hitta exakta lösningar till ODE.
  • Göra kvalitativa undersökningar av dynamiska system (främst i två dimensioner); fasporträtt, stabilitet hos jämviktspunkter.
  • Ställa upp och analysera ODE utgående från enkla modeller i fysik, kemi och biologi.

Kursinnehåll

  • Några exakta lösningsmetoder för vissa typer av ODE.
  • Satser om lösningars existens och entydighet.
  • Fundamentalmatris för ett linjärt system av ODE.
  • Exponentialfunktionen för matriser.
  • Tidskontinuerliga dynamiska system (system av autonoma första ordningens ODE).
  • Linjära dynamiska system: exakt lösning, fasporträtt, klassifikation.
  • Ickelinjära dynamiska system: fasporträtt, linearisering kring jämviktspunkter, stabilitet, gränscykler, bifurkationer.
  • Diverse exempel på tillämpningar.
  • Orientering om numerisk och symbolisk lösning av ODE med hjälp av dator.
  • Orientering om Poincaréavbildning, tidsdiskreta dynamiska system och kaosteori.

Undervisnings- och arbetsformer

Undervisningen består av föreläsningar och lektioner.

Examination

UPG1Inlämningsuppgifter2 hpU, G
TEN1En skriftlig tentamen4 hpU, 3, 4, 5

Betygsskala

Fyrgradig skala, LiU, U, 3, 4, 5

Övrig information

Om undervisnings- och examinationsspråk

Undervisningsspråk visas på respektive kurstillfälle på fliken "Översikt". Examinationsspråk relaterar till undervisningsspråk enligt nedan:

  • Om undervisningsspråk är ”Svenska” kan kursen ges i sin helhet på svenska eller delvis på engelska. Examinationsspråk är svenska, men delar av examinationen kan ske på engelska.
  • Om undervisningsspråk är Engelska ges kursen i sin helhet på engelska. Examinationsspråk är engelska.
  • Om undervisningsspråk är ”Svenska/Engelska” ges kursen i sin helhet på engelska om studenter utan tidigare kunskap i svenska språket deltar. Examinationsspråk följer undervisningsspråk.

Övrigt

Kursen bedrivs på ett sådant sätt att likvärdiga villkor råder med avseende på kön, könsöverskridande identitet eller uttryck, etnisk tillhörighet, religion eller annan trosuppfattning, funktionsnedsättning, sexuell läggning och ålder.

Planering och genomförande av kurs skall utgå från kursplanens formuleringar. Den kursvärdering som ingår i kursen skall därför genomföras med kursplanen som utgångspunkt. 

Kursen är campusförlagd på den ort som anges för kurstillfället om inget annat anges under ”Undervisnings – och arbetsformer”. I en campusförlagd kurs kan dock enstaka moment på distans ingå.

Institution

Matematiska institutionen

Kurslitteratur

Böcker

  • D. K. Arrowsmith & C. M. Place, (1992) Dynamical Systems: Differential Equations, Maps and Chaotic Behaviour Chapman & Hall/CRC

Övrigt

  • Kurt Hansson, Föreläsningar om ordinära differentialekvationer (pdf-dokument)
Kod Benämning Omfattning Betygsskala
UPG1 Inlämningsuppgifter 2 hp U, G
TEN1 En skriftlig tentamen 4 hp U, 3, 4, 5

Kursplan

För varje kurs ska en kursplan finnas. I kursplanen anges kursens mål och innehåll samt de särskilda förkunskaper som erfordras för att den studerande skall kunna tillgodogöra sig undervisningen.

Schemaläggning

Schemaläggning av programkurser görs enligt, för kursen, beslutad blockindelning. Fristående kurser kan schemaläggas på andra tider. 

Avbrott och avanmälan på kurs

Enligt beslut vid Linköpings universitet om Riktlinjer och rutiner för bekräftelse av deltagande i utbildning med mera på grund- och avancerad nivå, Dnr LiU-2020-02256 (https://styrdokument.liu.se/Regelsamling/VisaBeslut/764582) skall avbrott i studier registreras i Ladok. Alla studenter som inte deltar i kurs man registrerat sig på är alltså skyldiga att anmäla avbrottet så att detta kan noteras i Ladok. Avanmälan eller avbrott från kurs görs via webbformulär Blanketter och formulär 

Inställd kurs eller avvikelse från kursplanen

Kurser med få deltagare (< 10) kan ställas in eller organiseras på annat sätt än vad som är angivet i kursplanen. Om kurs skall ställas in eller avvikelse från kursplanen skall ske prövas och beslutas detta av dekanus. För fristående kurser måste inställande av kurs ske innan studenter har antagits på kursen (i enlighet med LiUs antagningsordning Dnr LiU-2022-01200, https://styrdokument.liu.se/Regelsamling/VisaBeslut/622645). 

Riktlinjer rörande examination och examinator 

Se Beslut om Riktlinjer för utbildning och examination på grundnivå och avancerad nivå vid Linköpings universitet Dnr LiU-2023-00379, (http://styrdokument.liu.se/Regelsamling/VisaBeslut/917592). 

Examinator för en kurs ska inneha en läraranställning vid LiU i enlighet med LiUs anställningsordning, Dnr LiU-2022-04445 (https://styrdokument.liu.se/Regelsamling/VisaBeslut/622784). För kurser på avancerad nivå kan följande lärare vara examinator: professor (även adjungerad och gästprofessor), biträdande professor (även adjungerad), universitetslektor (även adjungerad och gästlektor), biträdande universitetslektor eller postdoktor. För kurser på grundnivå kan följande lärare vara examinator: professor (även adjungerad och gästprofessor), biträdande professor (även adjungerad), universitetslektor (även adjungerad och gästlektor), biträdande universitetslektor, universitetsadjunkt (även adjungerad och gästadjunkt) eller postdoktor. I undantagsfall kan även en Timlärare utses som examinator på både grund- och avancerad nivå, se Tekniska fakultetsstyrelsen vidaredelegationer. 

Examination

Principer för tentamina

Skriftlig och muntlig tentamen samt digital salstentamen och datortentamen ges minst tre gånger årligen; en gång omedelbart efter kursens slut, en gång i augustiperioden samt vanligtvis i en av omtentamensperioderna. Annan placering beslutas av programnämnden.

Principer för tentamensschemat för kurser som följer läsperioderna:

  • kurser som ges Vt1 förstagångstenteras i mars och omtenteras i juni och i augusti
  • kurser som ges Vt2 förstagångstenteras i maj och omtenteras i augusti och i januari
  • kurser som ges Ht1 förstagångstenteras i oktober och omtenteras i januari och augusti
  • kurser som ges Ht2 förstagångstenteras i januari och omtenteras i mars och i augusti

Tentamensschemat utgår från blockindelningen men avvikelser kan förekomma främst för kurser som samläses/samtenteras av flera program samt i lägre årskurs.

För kurser som av programnämnden beslutats vara vartannatårskurser ges tentamina 3 gånger endast under det år kursen ges.

För kurser som flyttas eller ställs in så att de ej ges under något eller några år ges tentamina 3 gånger under det närmast följande året med tentamenstillfällen motsvarande dem som gällde före flyttningen av kursen.

När en kurs, eller ett tentamensmoment (TEN, DIT, DAT, MUN), ges för sista gången ska ordinarie tentamen och två omtentamina erbjudas. Därefter fasas examinationen ut under en avvecklingsperiod med tre tentamina samtidigt som tentamen ges i eventuell ersättningskurs under det följande läsåret. Om ingen ersättningskurs finns ges tre tentamina i omtentamensperioder under det följande läsåret. Annan placering beslutas av programnämnden. I samtliga fall ges dessutom tentamen ytterligare en gång under det därpå följande året om inte programnämnden föreskriver annat. Totalt erbjuds alltså 6 omtentamenstillfällen, varav 2 ordinarie omtentamenstillfällen. I tentaanmälningssystemet markeras tentamina som ges för näst sista respektive sista gången.

Om en kurs ges i flera perioder under året (för program eller vid skilda tillfällen för olika program) beslutar programnämnden/programnämnderna gemensamt om placeringen av och antalet omtentamina. 

För fristående kurser med tentamensmoment som inte följer blockplacering kan andra tider förekomma. 

Omprov övriga examinerande moment

För riktlinjer för omprov vid andra examinerande moment än skriftliga tentamina, digital salstentamina och datortentamina hänvisas till de generella LiU-riktlinjerna för examination och examinator, Dnr LiU-2023-00379 (http://styrdokument.liu.se/Regelsamling/VisaBeslut/917592). 

Nedlagd kurs

För Beslut om Rutiner för administration vid avveckling av utbildningsprogram, fristående kurser och kurser inom program, se Dnr LiU-2021-04782 (https://styrdokument.liu.se/Regelsamling/VisaBeslut/1156410). Efter beslut om nedläggning och efter avvecklingsperiodens slut hänvisas studenterna till ersättande kurs (eller motsvarande) enligt information i kursplan eller utbildningsplan. Om en student har godkänt i något/några moment i en avvecklad programkurs men inte alla och det finns en åtminstone delvis ersättande kurs så kan en bedömning om eventuellt tillgodoräknande ske. Eventuell tillgodoräkning av delmoment görs av examinator.

Anmälan till tentamen

För deltagande i skriftlig tentamen, digital salstentamen och datortentamen är anmälan obligatorisk, se beslut i regelsamlingen Dnr LiU-2020-04559 (https://styrdokument.liu.se/Regelsamling/VisaBeslut/622682). En oanmäld student kan således inte erbjudas plats. Anmälan till tentamen är öppen 30 kalenderdagar före provdatum och stänger 10 kalenderdagar innan provdatum om inget annat anges. Anmälan görs i Studentportalen eller via LiU-appen. Anvisad sal meddelas fyra dagar före tentamensdagen via e-post. 

Ordningsföreskrifter för studerande vid tentamensskrivningar

Se särskilt beslut i regelsamlingen, Dnr LiU-2020-04559 (http://styrdokument.liu.se/Regelsamling/VisaBeslut/622682).

Plussning

Vid Tekniska högskolan vid LiU har studerande rätt att genomgå förnyad examination (s.k. plussning) för högre betyg på skriftliga tentamina, digital salstentamina och datortentamina, dvs samtliga provmoment med modulkod TEN, DIT och DAT. På övriga examinationsmoment ges inte möjlighet till plussning, om inget annat anges i kursplan.

Plussning är ej möjlig på kurser som ingår i utfärdad examen.

Betyg och examinationsformer

Företrädesvis skall betygen underkänd (U), godkänd (3), icke utan beröm godkänd (4) och med beröm godkänd (5) användas. 

  • Kurser med skriftlig tentamen och digital salstentamen skall ge betygen (U, 3, 4, 5).
  • Kurser med stor del tillämpningsinriktade moment såsom laborationer, projekt eller grupparbeten får ges betygen underkänd (U) eller godkänd (G).
  • Examensarbete samt självständigt arbete ger betyg underkänd (U) eller godkänd (G).

Examinationsmoment och modulkoder

Nedan anges vad som gäller för de examinationsmoment med tillhörande modulkod som tillämpas vid Tekniska fakulteten vid Linköpings universitet. 

  • Skriftlig tentamen (TEN) och digital salstentamen (DIT) skall ge betyg (U, 3, 4, 5).
  • Examinationsmoment som kan ge betygen underkänd (U) eller godkänd (G) är laboration (LAB), projekt (PRA), kontrollskrivning (KTR), digital kontrollskrivning (DIK), muntlig tentamen (MUN), datortentamen (DAT), uppgift (UPG), hemtentamen (HEM).
  • Övriga examinationsmoment där examinationen uppfylls framför allt genom aktivt deltagande som basgrupp (BAS) eller moment (MOM) ger betygen underkänd (U) eller godkänd (G).
  • Examinationsmomenten Opposition (OPPO) och Auskultation (AUSK) inom examensarbetet ger betyg underkänd (U) eller godkänd (G).

Allmänt gäller att:

  • Obligatoriska kursmoment skall vara poängsatta och ges en modulkod.
  • Examinationsmoment som ej är poängsatt får ej vara obligatoriskt. Det är frivilligt att delta på dessa moment och information om det samt tillhörande villkor skall tydligt framgå i den beskrivande texten.
  • För kurser med flera examinationsmoment med graderad betygsskala skall det anges hur slutbetyg på kursen vägs samman.

För obligatoriska moment gäller att (i enlighet med Riktlinjer för utbildning och examination på grundnivå och avancerad nivå vid Linköpings universitet, Dnr 
LiU-2023-00379 http://styrdokument.liu.se/Regelsamling/VisaBeslut/917592): 

  • Om det finns särskilda skäl, och om det med hänsyn till det obligatoriska momentets karaktär är möjligt, får examinator besluta att ersätta det obligatoriska momentet med en annan likvärdig uppgift.

För möjlighet till anpassade examinationsmoment gäller att (i enlighet med Riktlinjer för utbildning och examination på grundnivå och avancerad nivå vid Linköpings universitet, Dnr LiU-2023-00379 http://styrdokument.liu.se/Regelsamling/VisaBeslut/917592): 

  • Om LiU: s koordinator för studenter med funktionsnedsättning har beviljat en student rätt till anpassad examination vid salstentamen har studenten rätt till det.
  • Om koordinatorn har gett studenten en rekommendation om anpassad examination eller alternativ examinationsform, får examinator besluta om detta om examinator bedömer det möjligt utifrån kursens mål.
  • Examinator får också besluta om anpassad examination eller alternativ examinationsform om examinator bedömer att det finns synnerliga skäl och examinator bedömer det möjligt utifrån kursens mål.

Rapportering av examinationsresultat

Rapportering av den studerandes examinationsresultat sker på respektive institution.

Plagiering

Vid examination som innebär rapportskrivande och där studenten kan antas ha tillgång till andras källor (exempelvis vid självständiga arbeten, uppsatser etc) måste inlämnat material utformas i enlighet med god sed för källhänvisning (referenser eller citat med angivande av källa) vad gäller användning av andras text, bilder, idéer, data etc. Det ska även framgå ifall författaren återbrukat egen text, bilder, idéer, data etc från tidigare genomförd examination, exempelvis från kandidatarbete, projektrapporter etc. (ibland kallat självplagiering).

Underlåtelse att ange sådana källor kan betraktas som försök till vilseledande vid examination.

Försök till vilseledande

Vid grundad misstanke om att en student försökt vilseleda vid examination eller när en studieprestation ska bedömas ska enligt Högskoleförordningens 10 kapitel examinator anmäla det vidare till universitetets disciplinnämnd. Möjliga konsekvenser för den studerande är en avstängning från studierna eller en varning. För mer information se Fusk och plagiat.

Linköpings universitet har även tagit fram en vägledning för lärares och studenters användning av generativ AI i utbildningen (Dnr LiU-2023-02660). Som student förväntas du alltid ta reda på vad som gäller för respektive kurs (inklusive examensarbetet). Generellt gäller tydlighet för var och hur generativ AI har använts.

Regler

Universitetet är en statlig myndighet vars verksamhet regleras av lagar och förordningar, exempelvis Högskolelagen och Högskoleförordningen. Förutom lagar och förordningar styrs verksamheten av ett antal styrdokument. I Linköpings universitets egna regelverk samlas gällande beslut av regelkaraktär som fattats av universitetsstyrelse, rektor samt fakultets- och områdesstyrelser. 

LiU:s regelsamling angående utbildning på grund- och avancerad nivå nås på https://styrdokument.liu.se/Regelsamling/Innehall

Böcker

D. K. Arrowsmith & C. M. Place, (1992) Dynamical Systems: Differential Equations, Maps and Chaotic Behaviour Chapman & Hall/CRC

Övrigt

Kurt Hansson, Föreläsningar om ordinära differentialekvationer (pdf-dokument)
I = Introducera, U = Undervisa, A = Använda
I U A Moduler Kommentar
1. ÄMNESKUNSKAPER
1.1 Kunskaper i grundläggande (motsvarande G1X) matematiska och naturvetenskapliga ämnen
X
X
X
TEN1
UPG1
I och U:  Metoder för exakt lösning och/eller kvalitativ analys av ordinära differentialekvationer. Matematisk modellering.
1.2 Kunskaper i grundläggande (motsvarande G1X) teknikvetenskapliga ämnen

                            
1.3 Fördjupade kunskaper (motsvarande G2X), metoder och verktyg inom något/några teknik- och naturvetenskapliga ämnen

                            
1.4 Väsentligt fördjupade kunskaper (motsvarande A1X), metoder och verktyg inom något/några teknik- och naturvetenskapliga ämnen

                            
1.5 Insikt i aktuellt forsknings- och utvecklingsarbete

                            
2. INDIVIDUELLA OCH YRKESMÄSSIGA FÄRDIGHETER OCH FÖRHÅLLNINGSSÄTT
2.1 Analytiskt tänkande och problemlösning
X
X
TEN1
UPG1
Allmän matematisk problemlösningsförmåga.
2.2 Experimenterande och undersökande arbetssätt samt kunskapsbildning

                            
2.3 Systemtänkande

                            
2.4 Förhållningssätt, tänkande och lärande
X
X
TEN1
UPG1
Kreativt och kritiskt tänkande, livslångt lärande
2.5 Etik, likabehandling och ansvarstagande

                            
3. FÖRMÅGA ATT ARBETA I GRUPP OCH ATT KOMMUNICERA
3.1 Arbete i grupp

                            
3.2 Kommunikation
X
TEN1
UPG1
Förmåga att tydligt presentera matematiska resonemang
3.3 Kommunikation på främmande språk

                            
4. PLANERING, UTVECKLING, REALISERING OCH DRIFT AV TEKNISKA PRODUKTER OCH SYSTEM MED HÄNSYN TILL AFFÄRSMÄSSIGA OCH SAMHÄLLELIGA BEHOV OCH KRAV
4.1 Samhälleliga villkor, inklusive ekonomiskt, socialt och ekologiskt hållbar utveckling

                            
4.2 Företags- och affärsmässiga villkor

                            
4.3 Att identifiera behov samt strukturera och planera utveckling av produkter och system

                            
4.4 Att konstruera produkter och system

                            
4.5 Att realisera produkter och system

                            
4.6 Att ta i drift och använda produkter och system

                            
5. PLANERING, GENOMFÖRANDE OCH PRESENTATION AV FORSKNINGS- ELLER UTVECKLINGSPROJEKT MED HÄNSYN TILL VETENSKAPLIGA OCH SAMHÄLLELIGA BEHOV OCH KRAV
5.1 Samhälleliga villkor, inklusive ekonomiskt, socialt och ekologiskt hållbar utveckling för kunskapsutveckling

                            
5.2 Ekonomiska villkor för kunskapsutveckling

                            
5.3 Att identifiera behov samt strukturera och planera forsknings- eller utvecklingsprojekt

                            
5.4 Att genomföra forsknings- eller utvecklingsprojekt

                            
5.5 Att redovisa och utvärdera forsknings- eller utvecklingsprojekt

                            

Denna flik innehåller det material som är publikt i Lisam. Den information som publiceras här är inte juridiskt bindande, sådant material hittar du under övriga flikar på denna sida.

Det finns inga filer att visa.